ГлавнаяКарта сайтаНапишите намПоиск по сайту
EDS-Soft
ElectroDynamic Systems Software ScientificTM
Antenna Systems ResearchTM



Antenna Array


Коэффициент направленного действия антенны (КНД)

Отношение мощности излучения гипотетической ненаправленной антенны с F(θ,φ)=1 к мощности излучения в максимуме диаграммы направленности заданной направленной антенны …

(из «Словаря терминов» нашего сайта)






Иосиф Евгеньевич Андрушкевич, доцент ВГУ им. П. М. Машерова (г.Витебск, РБ), кандидат физико−математических наук.
Первый проректор ВГУ.


Валерий Анатольевич Жизневский, старший преподаватель кафедры физики ВГТУ (г. Витебск, РБ).

Обобщенный метод Фурье при решении внутренних смешанных краевых задач



Опубликовано: 22.03.2004
Оригинал: www.laboratory.ru
© И. Е. Андрушкевич, В. А. Жизневский. Все права защищены.
© EDS–Soft, 2004. Все права защищены.


При исследовании стационарных и волновых процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) часто приходят к уравнениям Лапласа и Гельмгольца:

В электродинамике в качестве функции может выступать потенциал электрического поля, созданного зарядами или токами при условии отсутствия объемных зарядов в рассматриваемой области. С точки зрения иллюстративности применения обобщенного метода Фурье разделения переменных (ОМФ) интерес представляет внутренняя смешанная краевая задача для этих уравнений на плоскости в прямоугольной области. Геометрия этой задачи поясняется рис. 1.

Постановку этой задачи можно сформулировать следующим образом: найти функцию U(x,y), удовлетворяющую внутри области ограниченной контуром L уравнению:

(1)

либо уравнению:

(1’)

и граничным условиям на отдельных участках рассматриваемого контура:

(2)

Можно показать, что решения приведенных уравнений, получаемые классическим методом Фурье разделения переменных, т.е. при представлении искомой функции в виде U(x,y)=X(x)Y(y), не может удовлетворить граничным условиям рассматриваемых задач. Находясь в рамках классического метода Фурье, эти задачи можно решить благодаря искусственному приему. А именно, пользуясь линейностью уравнений (1) и (1’), рассматриваемые задачи разбивают на вспомогательные подзадачи. Например, для задачи с уравнением Гельмгольца (1’) — (2) вспомогательные задачи (3) — (4) и (5) — (6) выглядят следующим образом:

(3)
(4)
(5)
(6)

Решение задачи (1’) — (2) представляется в виде суперпозиции решений (3) — (4) и (5) — (6), т.е. . Аналогично можно поступить и для задачи с уравнением Лапласа (1)-(2).

Проиллюстрируем на примере краевой задачи для уравнения Гельмгольца, как более сложного из рассматриваемых, мощь и возможности обобщенного метода Фурье разделения переменных, позволяющего исключить необходимость рассмотрения вспомогательных задач. Для этого частные решения задачи (1’) — (2) будем искать в виде ОМФ-2 [1]

(7)

где функции как и функции являются линейно независимыми. Тогда уравнение (1) может быть приведено к виду:

(8)

Поступая в соответствии с теорией ОМФ [1] (ОМФ-2, r=2), вместо (8) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

(9)

где — постоянные решения билинейных функциональных уравнений. Используя требование независимости функций в (7) и гипотезу о достаточности размерности функционального базиса полагаем . Система (9) примет вид:

(10)

где использованы обозначения: .

Общие решения системы (10) имеют вид

(11)

где — постоянные интегрирования ОДУ.

С учетом (11), частные решения (8) будут иметь вид

(12)

Общее решение уравнения (1’) будет представлять собой суперпозицию всех частных решений (12) с различными значениями постоянных т.е.

(13)

Значения констант интегрирования в этом решении определим из граничных условий (2). Граничное условие по оси х, имеющее вид , приводит к выражению:

(14)

Это выражение при условии

(15)

преобразуется к виду:

(16)

Если принять, что

(17)

то выражение (16) можно рассматривать как разложение функции в ряд Фурье по косинусам в интервале (0, b). Коэффициенты этого разложения определяются следующим образом:

(18)

Граничное условие по оси х, имеющее вид , с учетом (15) и (17) приводит к выражению:

(19)

При условии

(20)

выражение (19) сводится к ряду Фурье для :

(21)

Коэффициенты этого ряда определяются:

(22)

Граничное условие по оси y, имеющее вид с учетом условий (15), (17) и (20) приводит к выражению:

(23)

Это выражение можно рассматривать как разложение функции в ряд Фурье по синусам в интервале Коэффициенты этого разложения определяются следующим образом:

(24)

Граничное условие по оси y, имеющее вид с учетом условий (15), (17) и (20) приводит к разложению функции в ряд Фурье вида:

(25)

Коэффициенты этого ряда определяются:

(26)

Окончательно, с учетом условий (15), (17) и (20) частные решения краевой задачи(1’)-(2) примут вид:

(27)

где и

Выражения определяющие коэффициенты этих решений вытекают из уравнений (18), (22), (24), (26):

(28)

Используя приведенную методику, для краевой задачи (1)-(2) с уравнением Лапласа можно получить следующий вид частных решений:

(29)

где

(30)

Выражения для коэффициентов в этих решениях получены из следующих уравнений:

(31)
(32)
(33)
(34)

Приведенные примеры использования ОМФ позволяют сделать однозначный вывод о преимуществах этого метода перед классическим методом разделения переменных. Наиболее наглядно эти преимущества проявляются именно в краевых задачах с граничными условиями определенного вида. Классификация таких задач представляется авторам направлением дальнейших исследований.

Использованная литература

1. И.Е. Андрушкевич. Об одном обобщении метода Фурье разделения переменных. ЭВ & ЭС. 1998. № 2.

Статьи за 2004 год

Все статьи

GuidesArray Coaxial 0.1.2

GuidesArray Coaxial™ используется инженерами для проектирования и исследования характеристик плоских периодических фазированных антенных решеток коаксиальных волноводов.


Подписка



Изменение параметров подписки