Одним из наиболее эффективных методов численного исследования характеристик конечных антенных решеток является метод, предложенный в [1]. Этот метод основан на преобразовании матрицы взаимных сопротивлений конечной решетки в циркулянтную матрицу и итерационной процедуре решения системы линейных алгебраических уравнений с преобразованной матрицей. Не менее эффективен и другой подход, основанный на концепции краевых волн [2], в соответствии с которой распределение тока в конечной антенной решетке с равномерным амплитудным и линейным фазовым распределением волн, распространяющихся в фидерных линиях, связанных с излучателями, можно представить в виде суммы регулярной части и краевой волны, распространяющейся от границы излучающего полотна вглубь решетки. Регулярная часть представляет собой распределение тока в бесконечной решетке при парциальном возбуждении, частью которого является возбуждение конечной решетки. Краевые эффекты обусловлены интерференцией регулярной части тока и тока краевой волны.

В соответствии с методикой, изложенной в [2], уравнение для регулярной части тока и краевой волны может быть получено из исходного уравнения конечной решетки

где Z — матрица системы линейных алгебраических уравнений; — вектор неизвестных коэффициентов в разложениях токов излучателей по базисным функциям; — вектор возбуждения конечной решетки. Для этого матрица Z дополняется до матрицы бесконечной антенной решетки:

а вектор представляется в виде суммы регулярной части тока и тока краевой волны

Подстановка (2), (3) в (1) приводит к равносильной системе уравнений:

где — парциальное возбуждение бесконечной антенной решетки, представляющее «непрерывное» продолжение на излучатель, дополняющее конечную решетку до бесконечной. Произвольное возбуждение конечной решетки с помощью дискретного преобразования Фурье может быть представлено в виде суперпозиции парциальных возбуждений. Уравнение (4) определяет регулярную часть тока, а уравнение (5) — краевую волну.

Для нахождения регулярной части тока используется известная методика решения задач о возбуждении периодических структур. Уравнение краевой волны представляет собой уравнение задачи о возбуждении конечной антенной решетки. Для его решения используется итерационная процедура [2], состоящая в том, что уравнение (5), как и исходное уравнение (1), преобразуется в равносильную систему уравнений:

где векторы , связаны с соотношением

Вектор представляет собой первое приближение краевой волны, — поправка к . Уравнение (6) соответствует задаче о возбуждении конечной решетки в составе бесконечной, излучатели которой нагружены на согласованные нагрузки, и решается так же, как и уравнение (4). Для решения уравнения (7) делается следующий шаг итерационной процедуры и т. д. На n-м шаге имеем

Краевая волна определяется как сумма решений , полученных на каждом шаге итерационной процедуры

Численный эксперимент показывает, что погрешность менее 1% в большинстве случаев достигается после третьего шага итерационной процедуры. Сходимость итерационной процедуры следует из асимптотических оценок правой части уравнения (9), согласно которым координаты вектора стремятся к нулю при практически как члены убывающей геометрической прогрессии. Характерной особенностью алгоритма (6)…(11) является то, что на каждом шаге итерационной процедуры решается задача о возбуждении конечной решетки в составе бесконечной. Это позволяет использовать с несущественными переделками имеющиеся программы для бесконечных антенных решеток. Принципиальная возможность применения данного алгоритма не зависит от шага и числа излучателей в решетке, наличия или отсутствия диэлектрического покрытия и связанных с ним поверхностных волн.

Концепция краевых волн дает наглядные результаты и позволяет выполнить качественный анализ краевых эффектов. Кроме того, выделение краевых волн открывает возможность анализа причин искажения характеристик конечных решеток, возникающих при сканировании.

Основные факторы, действующие в конечных антенных решетках, удобнее выделить при анализе характеристик простейшей антенной решетки, в качестве которой была выбрана решетка бесконечных узких параллельных щелей. Некоторые характеристики краевых волн в такой решетке рассматриваются в [2].

Из уравнений (4), (5) следует, что краевые волны возбуждаются фиктивными источниками, дополняющими регулярную часть токов конечной решетки до токов бесконечной решетки соответствующих парциальному возбуждению .

На рис. 1,а показана зависимость регулярной части эквивалентных магнитных токов щелей полубесконечной антенной решетки от направления фазирования (кривая 1). Форма этой кривой типична для бесконечной ФАР. Амплитуда тока обращается в нуль при переходе дифракционного максимума через границу действительных и мнимых углов. Здесь же (кривая 2) показана соответствующая зависимость амплитуды поля фиктивных источников и возбуждаемой ими краевой волны (кривая 3). Из графиков следует, что при выбранном значении шага (T/=0,7) в одном из направлений фазирования, при которых наступает «ослепление» решетки и регулярная часть тока щелей обращается в нуль, амплитуда поля фиктивных источников максимальна, а вместе с ней максимальна и амплитуда краевой волны. В другом из указанных направлений регулярная часть тока, а также амплитуда краевой волны и поля фиктивных источников, обращается в нуль. Первое направление соответствует отклонению луча от нормали в сторону фиктивных источников, когда дифракционный максимум поля излучения фиктивных источников направлен вдоль экрана в сторону щелевой решетки.

Второе направление соответствует отклонению луча от нормали в сторону щелевой решетки, когда дифракционный максимум поля фиктивных источников также направлен вдоль экрана, но в противоположном направлении — от щелевой решетки. Таким образом, при фазировании конечной антенной решетки в направлениях ослепления соответствующей бесконечной решетки регулярная часть тока обращается в нуль и в решетке возбуждаются только лишь токи краевых волн.

Как было показано в [2], краевая волна обладает устойчивыми характеристиками независимо от вида возбуждения решетки. На рис. 1,б представлены графики, характеризующие зависимость тока краевой волны от расстояния до границы полубесконечного излучающего полотна при возбуждении крайней (1) и десятой щели (2), а также в равномерно возбужденной решетке (3) при фазировании вне некоторого сектора углов около направления «ослепления». Из сравнения графиков следует, что в каждом из указанных случаев возбуждаются одинаковые краевые волны.

Краевые эффекты в конечной щелевой решетке представляют собой результат интерференции не только краевых волн и регулярной части тока, но и интерференции краевых волн, возбуждаемых противоположными краями излучающего полотна. Краевые волны, достигая границы излучающего полотна, претерпевают отражение и результирующие краевые волны в конечных антенных решетках представляют собой суперпозицию волн, возникающих при многократных переотражениях.

На рис. 1,в показан процесс переотражения краевой волны, возбуждаемой одним из краев решеток с числом излучателей N=2 (кривая 1), N=5 (кривая 2) и N=10 (кривая 3). Из графиков следует, что коэффициент отражения краевой волны практически не зависит от числа излучателей в решетке и по модулю не превышает 0,2.

В решетке с числом излучателей N>5 отличие амплитуды краевой волны от соответствующей величины в полубесконечной решетке составляет не более 4%. Поэтому в таких решетках переотражение краевых волн можно не учитывать. Амплитуда краевой волны быстро убывает при удалении от края решетки и при N>5 интерференция краевых волн, возбуждаемых противоположными краями решетки, практически отсутствует.

Диаграмма направленности излучателя в решетке, элементы которой нагружены на согласованные нагрузки, представляет собой сумму диаграмм направленности регулярной части тока и тока краевых волн. Поскольку в решетке без диэлектрического покрытия фазовая скорость краевой волны равна скорости света в среде над решеткой, то направление максимумов излучения определяется выражением

При шаге решетки T/<0,5 единственный максимум излучения краевой волны ориентирован вдоль плоскости решетки. У решеток с шагом 0,5<T/<1 излучения краевой волны имеет два максимума (рис. 2,а, кривая 1), один из которых направлен вдоль плоскости решетки, а другой под углом

относительно нормали, совпадающим с направлением «ослепления», бесконечной решетки. Знаки перед правыми частями равенств (12), (13) соответствуют краевым волнам, возбуждаемым каждым из двух краев конечной щелевой решетки. Регулярной части тока в полубесконечной антенной решетке соответствует несимметричная диаграмма направленности, несимметрия которой уменьшается при увеличении расстояния от края до возбуждаемого излучателя. На рис. 2,а представлена диаграмма направленности регулярной части тока, индуцированного в щелевой полубесконечной решетке при возбуждении крайнего излучателя (кривая 2), и диаграмма направленности крайнего элемента (кривая 3), включающая в себя излучение краевой волны. Из сравнения графиков следует, что краевая волна вносит небольшой вклад в диаграмму направленности крайнего элемента в области провала и направлении плоскости экрана. Этот вклад быстро уменьшается при увеличении расстояния между краем излучающего полотна и возбуждаемым элементом решетки. Поэтому диаграмма направленности излучателя в решетке достаточно точно описывается регулярной частью тока.

На рис. 2,б (кривая 1) представлена диаграмма направленности решетки, состоящей из одиннадцати элементов, максимум которой отклонен от направления нормали на угол =18,5°. Распределение амплитуд волн, возбуждающих щелевые излучатели, определяется функцией

где — число излучателей в решетке; k — номер излучателя. Наличие краевой волны сказывается лишь на некоторых деталях структуры диаграммы направленности. В основном излучение краевой волны приводит к заплыванию нулей. Однако диаграмма направленности регулярной части тока (кривая 2) существенно отличается от диаграммы направленности решетки с амплитудным распределением (14). Уровень боковых лепестков составляет -26 дБ вместо -32 дБ. Это обусловлено тем, что парциальные возбуждения, из которых образуется амплитудное распределение (14)

где

имеют неодинаковые фазовые распределения. Несовпадение фазовых распределений приводит к различным коэффициентам отражения в бесконечной решетке и изменению соотношения между индуцированными токами по сравнению с (16). Изменения фазы между соседними излучателями, соответствующие парциальным возбуждениям (16), определяются выражениями:

Величины (17) отличаются друг от друга тем сильнее, чем короче решетка. Это означает, что с уменьшением числа излучателей амплитудное распределение в решетке, соответствующее регулярной части тока, существенно искажается по сравнению с амплитудным распределением волн в фидерных линиях, возбуждающих излучатели. Это и является главной причиной искажений диаграммы направленности решетки с небольшим числом излучателей, выражающихся в увеличении уровня боковых лепестков. С ростом размеров решетки величины (17) стремятся к одному и тому же пределу, равному , и соотношение между амплитудами токов щелей, индуцированных парциальными возбуждениями (16), стремится к соотношению между парциальными возбуждениями. Поэтому в решетках с большим числом излучающих элементов уровень боковых лепестков диаграммы направленности регулярной части тока стремится к величине, соответствующей амплитудному распределению волн, возбуждающих излучатели. Таким образом, искажения диаграммы направленности ФАР с относительно небольшим числом излучателей могут быть выявлены путем анализа взаимодействия излучателей в бесконечных антенных решетках. Сказанное не означает, что краевые волны не искажают диаграмму направленности ФАР с большим числом излучателей. Можно показать, что искажения диаграммы направленности, связанные с излучением краевых волн в больших решетках, возникают при приближении максимума диаграммы направленности к границам сектора сканирования. Из анализа поля излучения щелевой бесконечной решетки, а также из графиков, представленных на рис. 1,а, следует, что при приближении луча к границе сектора сканирования в результате уменьшения амплитуды регулярной части тока уровень главного максимума диаграммы направленности, как и уровень максимального излучения краевой волны, не зависит от числа излучателей решетки. Поэтому в направлении максимума излучения краевой волны возникает боковой лепесток, уровень которого с ростом числа излучателей неограниченно увеличивается по сравнению с уровнем излучения регулярной части тока в указанном направлении. При этом соотношение максимумов излучения регулярной части тока и краевой волны остается практически постоянным.

На рис. 2,в показана зависимость уровня максимума бокового лепестка, связанного с излучением краевой волны, и уровень бокового излучения регулярной части тока в направлении указанного максимума от числа излучателей в равномерно возбужденной щелевой решетке, луч которой отклонен на предельный угол, определяемый выражением [3]

Из графиков следует, что в больших решетках в области боковых лепестков с уровнем -30…-50 дБ ввиду излучения краевой волны возникает дополнительный боковой лепесток, уровень которого составляет -22,5 дБ, т. е. уровень бокового излучения в направлении максимума диаграммы направленности краевой волны заметно увеличивается. На рис. 2,а (кривые 4, 5) в масштабе кривой 1 показаны огибающие боковых лепестков регулярной части тока равномерно возбуждаемой щелевой решетки с различным числом излучателей, луч которых отклонен от нормали на предельный угол (18). Вследствие значительной ширины диаграммы направленности краевой волны увеличение уровня бокового излучения происходит в достаточно большом секторе углов.

Таким образом, краевые эффекты, обусловленные возникновением краевых волн на границе излучающего полотна, приводят не только к осцилляциям тока излучателей краевой зоны, но и появлению дополнительных лепестков в направлениях ослепления решетки. Указанные искажения диаграммы направленности возникают при отклонении луча решеток с большим числом излучателей на предельный угол в секторе однолучевого сканирования. В решетках с низким уровнем бокового излучения и небольшим числом излучателей существенное изменение уровня боковых лепестков обусловлено изменением амплитудно-фазового распределения регулярной части тока, которое описывается взаимодействием излучателей в бесконечной антенной решетке.