Исследуемый излучатель представляет собой тонкую металлическую пластинку, расположенную на одной стороне диэлектрической подложки с диэлектрической проницаемостью ε и толщиной z₀. Противоположная сторона подложки металлизирована. Характеристики излучателей в бесконечной решетке рассматриваются в режиме возбуждения, при котором напряжение в зазоре вибратора постоянно по абсолютной величине и характеризуется линейно меняющейся фазой от излучателя к излучателю

где ; .

В приведенных формулах , — углы сферической системы координат, определяющие направление фазирования, (, ) — координаты центров излучателей в декартовой системе координат, ось ОХ которой ориентирована параллельно продольной оси вибраторов, а ось OZ — перпендикулярна плоскости решетки.

Возбуждение (1) позволяет рассматривать излучение элемента решетки как возбуждение электромагнитного поля в пространственном волноводе — канале Флоке [1]. Для анализа поля в пространственном волноводе используются известные соотношения

где , и u — векторный и скалярный потенциалы.

Интегральное уравнение задачи получено из граничного условия для касательной составляющей электрического поля на поверхности идеально проводящего излучателя

где — стороннее электрическое поле, равное нулю всюду, за исключением области зазора между плечами вибратора, где оно принимает известное значение , равное отношению возбуждающего напряжения к ширине зазора. Интегрирование граничного условия (3) с учетом (2) дает

где С — постоянная интегрирования, a t = x, y.

Электродинамические потенциалы представляются в виде разложения по плоским волнам [2], а учет граничных условий для нормальных составляющих тока на кромках вибратора и уравнения непрерывности позволяет перейти от поверхностной плотности тока к поверхностной плотности заряда. Рассматривая волну потенциала в виде суперпозиции волн, связанных с H- и E-волнами пространственного волновода, учитываются границы раздела между диэлектрическими слоями. При этом выражение (4) сводится к интегральному уравнению вида

которое получено в предположении равномерного распределения продольной составляющей заряда , вдоль оси у. Как показали численные эксперименты, учет особенности указанной составляющей заряда на кромке узкого вибратора не приводит к заметным изменениям получаемых результатов.

Для решения полученного уравнения был использован метод моментов, преобразующий интегральное уравнение в систему линейных алгебраических уравнений. Для этого искомая функция представлена в виде

где — базисная функция; — неизвестный коэффициент. В качестве базисных функций используются собственные функции области, занимаемой металлической пластинкой (для узкого прямоугольного вибратора — набор тригонометрических функций одной координаты).

Используя базисные функции в качестве весовых функций, получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

где

Решая полученную систему уравнений, можно найти распределение заряда по металлическому вибратору, через которое находятся все интегральные характеристики излучателя в решетке: парциальная диаграмма направленности, входное сопротивление и другие.

Численные эксперименты проводились при следующих параметрах решетки и излучателя (здесь и далее размеры нормированы к длине волны): шаги решетки = = 0,6; ширина вибратора b = 0,035; = 0,175; = 2,5; = = 0°. Предполагалось наличие диэлектрического покрытия толщиной с диэлектрической проницаемостью .

На рис. 1,а приведены зависимости активной и реактивной составляющих входного сопротивления печатного вибратора в бесконечной решетке от его длины. Параметром является диэлектрическая проницаемость подложки , равная: 1,5 (кривая 1); 2,0 (кривая 2) и 2,5 (кривая 3). При увеличении происходит уменьшение резонансных размеров вибратора, однако при этом сужается рабочая полоса частот. При уменьшении ширины печатного вибратора b наблюдается увеличение активной составляющей входного сопротивления в области второго резонанса и заметное сужение полосы частот. На рис. 1,б b имеет значения: 0,035 (кривая 1); 0,055 (кривая 2) и 0,075 (кривая 3). Можно также отметить некоторое смещение резонансной длины в сторону больших значений длины вибратора. Аналогичное поведение резонансной длины наблюдается при изменении высоты расположения вибратора над экраном. На рис. 1,в имеет значения: 0,150 (кривая 1); 0,175 (кривая 2) и 0,2 (кривая 3).

Входное сопротивление вибраторного излучателя в решетке существенно зависит от шага периодической структуры, что является следствием взаимодействия излучателей в ФАР. На рис. 2,а и б представлены зависимости входного сопротивления печатного вибратора шириной b = 0,075 при изменении шага решетки и соответственно в Е- и H-плоскостях. Кривые на рис. 2, а соответствуют значениям: 1 — = 0,7; 2 — = 0,8 и 3 — = 0,9, а на рис. 2,б = 0,6 (кривая 1); 0,65 (кривая 2) и 0,7 (кривая 3).

Наиболее заметные изменения входного сопротивления происходят при изменении шага решетки в H-плоскости. Так, например, увеличение шага решетки в H-плоскости от 0,6 до 0,7 приводит к увеличению вдвое активной составляющей входного сопротивления и уменьшению резонансной длины на 15% (рис. 2,б). Аналогичные изменения шага решетки в E-плоскости (рис. 2,а) не приводят к заметным изменениям входного сопротивления. Заметим, что указанные зависимости, обусловленные взаимодействием излучателей в решетке, противоположны соответствующим эффектам в решетке пластинчатых излучателей, входное сопротивление которых существенно зависит от шага в E-плоскости [3].

На рис. 2,в представлена зависимость входного сопротивления полоскового вибратора длиной 2l = 0,375, расположенного на подложке с диэлектрической проницаемостью = 1,5, от угла отклонения луча решетки в главных плоскостях (кривые 1 соответствуют плоскости H, кривые 2 — плоскости E). Резкое изменение входного сопротивления излучателя происходит за счет возникновения поверхностных волн H- и E-типов. Из графиков следует, что рассматриваемый излучатель может быть хорошо согласован с 50-омной линией в секторе углов ?30°. Для сравнения на рис. 3,а представлены аналогичные кривые при отсутствии диэлектрика ( = 1) для полуволнового вибратора, расположенного над экраном на расстоянии четверти длины волны.

На рис. 3,б изображена зависимость резонансной длины полуволнового печатного вибратора от величины диэлектрической проницаемости подложки (кривая 1). Видно, что изменение резонансной длины носит несколько иной характер, чем уменьшение, пропорционально (штриховая кривая), причем отличия возрастают с ростом . Это объясняется взаимодействием излучателей в решетке. Кривые 2 и 3 соответствуют изменению резонансной длины при изменении шага решетки и в E-плоскости (кривая 2, = 0,5) более существенно, чем изменение резонансной длины при изменении шага решетки в H-плоскости (кривая 3, = 0,5). Последний эксперимент проводился с излучателем, расположенным на диэлектрической подложке с = 1,5.

На рис. 3,в показаны сечения главными плоскостями диаграммы направленности печатного вибраторного излучателя в составе бесконечной решетки (1 — плоскость H, 2 — плоскость E). Сплошные кривые соответствуют вибратору длиной 2l = 0,375, расположенному на подложке с = 1,5, штриховые кривые — излучателю с 2l = 0,5, = 1 и = 0,25. Угловое положение провалов в приведенных диаграммах соответствует моменту возникновения поверхностных волн в диэлектрической подложке.

Математическая модель бесконечной вибраторной решетки, а также реализующие ее на ЭВМ алгоритмы и программы могут быть использованы для исследования характеристик конечных решеток с вибраторными печатными излучателями. В качестве примера ниже приводятся результаты расчета диаграмм направленности вибраторных излучателей в квадратной решетке, расположенных в центре, середине боковой стороны и угловой точке излучающего полотна.

Для определения диаграммы направленности вибраторного излучателя в конечной решетке, излучающие элементы которой нагружены на согласованные нагрузки, использовались результаты, полученные в [4] методом краевых волн. Диаграмма направленности излучателя в конечной решетке формируется излучением регулярной части тока, индуцируемой в излучателях бесконечной решетки возбуждаемым вибратором и током краевой волны. Краевая волна вносит относительно небольшой вклад в диаграмму направленности крайнего излучателя в области провала, связанного с возбуждением поверхностных волн в диэлектрической подложке. Этот вклад быстро уменьшается при удалении возбуждаемого вибратора от края излучающего полотна. В остальном форма диаграммы направленности излучателей в конечной решетке определяется регулярной частью тока.

Регулярная часть тока представляет собой расходящуюся волну, амплитуда которой убывает так же, как и коэффициенты взаимной связи при удалении от возбуждаемого элемента. Интенсивность индуцируемой волны зависит от направления в плоскости излучающего полотна. Индуцированная волна создает поле излучения, максимум которого ориентирован в направлении провалов диаграммы направленности излучателя в бесконечной решетке. Интерференция прямой пространственной волны и поля излучения токов, индуцированных в окружающих элементах, и является причиной возникновения резонансных провалов в диаграмме направленности излучателя в бесконечной решетке.

На рис. 4,а представлены диаграммы направленности центрального элемента в квадратных вибраторных решетках с различным числом излучателей, расположенных в узлах прямоугольной координатной сетки с шагом = = 0,6 на диэлектрической подложке толщиной = 0,175 с = 1,5. В бесконечной решетке, как было показано выше, диаграмма направленности излучателя имеет в плоскости Е два симметрично расположенных нулевых провала. В конечной решетке с относительно небольшим числом излучающих элементов эти провалы отсутствуют, так как токи, индуцируемые в излучателях конечной решетки, окружающих возбуждаемый элемент, имеют ограниченную пространственную протяженность и уровень максимального излучения этих токов в направлении провалов диаграммы направленности излучателя в бесконечной решетке не обеспечивает компенсацию излучения одиночного вибратора, расположенного над экраном на диэлектрической подложке. По мере увеличения числа излучателей и размеров решетки пространственная протяженность индуцированного тока и уровень его максимального излучения увеличиваются. В результате в диаграмме направленности появляются провалы, глубина которых растет с увеличением размеров решетки. В квадратной решетке с числом излучателей = 1681 глубина провала соответствует 60% от максимального значения диаграммы направленности, которая вне провала достаточно хорошо описывает диаграмму направленности излучателя в бесконечной решетке.

На рис. 4,б представлены диаграммы направленности в плоскости Е крайнего излучателя, расположенного в середине боковой стороны квадратных вибраторных решеток с различным числом излучающих элементов. Токи, индуцированные таким излучателем в конечной решетке, элементы которой нагружены на согласованные нагрузки, близки токам, возбуждаемым центральным элементом квадратной решетки на одной из двух половин излучающего полотна. Поэтому диаграмма направленности крайнего элемента несимметрична. В решетках с небольшим числом излучателей диаграмма направленности крайнего элемента характеризуется отсутствием обоих резонансных провалов, но по мере увеличения числа излучателей и размеров решетки в диаграмме направленности появляется один из провалов, ориентированный в сторону от решетки, так как в этом направлении формируется максимум излучения токов, индуцированных возбужденным излучателем в конечной решетке. Как и в случае центрального излучателя, увеличение числа вибраторов и размеров решетки приводит к углублению провала диаграммы направленности крайнего вибратора, который составляет 40% от максимального значения при = 1681. Второй провал, ориентированный в сторону решетки, отсутствует, так как в бесконечной решетке он формируется токами, индуцированными в излучателях, расположенных с противоположной стороны от возбуждаемого вибратора, а в конечной решетке эти излучатели отсутствуют. Поэтому диаграмма направленности крайнего излучателя в конечной решетке всегда имеет один провал.

На рис. 4,в представлены диаграммы направленности углового излучателя в квадратной вибраторной решетке, содержащей = 1681 излучающих элементов. Диаграммы направленности рассчитаны для E-плоскости (кривая 1), а также для составляющей поля в диагональной плоскости ( = 135°, кривая 2).

Из графиков следует, что в E-плоскости диаграмма направленности углового вибратора практически не отличается от диаграммы направленности крайнего излучателя, расположенного в середине боковой стороны излучающего полотна, за исключением глубины провала. Уровень излучения углового вибратора в направлении этого провала увеличивается примерно на 18%, что, очевидно, связано с уменьшением числа излучателей, формирующих провал в диаграмме направленности углового излучателя. В диагональной плоскости диаграмма направленности углового излучателя не имеет провалов, так как максимумы излучения токов, индуцированных угловым излучателем в конечной решетке, лежат вне этой плоскости.

Таким образом, диаграмма направленности центрального вибраторного излучателя в квадратной решетке симметрична и с увеличением размеров решетки и числа излучателей стремится к диаграмме направленности излучателя в бесконечной решетке. Диаграммы направленности крайнего элемента, расположенного в середине боковой стороны излучающего полотна, не симметрична и имеет один провал, глубина которого увеличивается с увеличением размеров и числа излучателей в решетке. Диаграмма направленности углового излучателя совпадает по форме с диаграммой направленности крайнего излучателя лишь в главных плоскостях.