Матричный оператор в уравнении (3) существует только в том случае, когда для всех дифференциальных сдвигов фаз из интервала . Поэтому при (режим холостого хода в виртуальных фидерах) в случае АР с диэлектрическими покрытиями оператор существует только при наличии потерь в слоях.

Для нормы оператора в дискретном пространстве с помощью неравенства Коши–Буняковского [5] можно получить оценку:

где — элементы квадратной матрицы .

В том случае, когда q < 1 (оператор K является оператором сжатия) для решения уравнения (3) можно использовать итерационную процедуру. При этом для скорости сходимости справедлива оценка [6]:

где — вектор амплитуд на k-том шаге итерации. В качестве нулевого приближения можно взять решение для бесконечной решетки.

Для АР с малым периодом Т (, — длина волны) скорость сходимости становится неудовлетворительной. В этом случае необходимо переформулировать задачу и записать уравнение не относительно амплитуд волн в фидерах, а относительно амплитуд суммарной краевой волны [4]. Если применить метод Положего [7], то вместо (3) получаем:

где — матрица искомых амплитуд краевой волны,

— второе итерированное матричное ядро (), — символ Кронекера.

После нахождения искомые амплитуды определяются из равенства , а диаграмма направленности (ДН) конечной решетки — из формулы:

где — вектор–строка {}, причем — ДН s-того элемента нулевого излучателя в бесконечной решетке, полученная при условии, что все остальные элементы во всех излучателях нагружены на согласованные нагрузки.

Обобщение полученных результатов на двумерный случай не представляет особых трудностей.