Рассматриваемый в настоящей работе метод исследования электродинамических характеристик излучающего полотна ФАР применим к антеннам с печатными излучателями прямоугольной формы, а также для других излучателей, которые можно представить в виде набора элементов прямоугольной формы. Однако, в качестве конкретного примера метод заряда применен к исследованию печатного вибраторного излучателя (рис.1) в составе антенной решетки.

Как известно [1], некоторая свобода выбора интегрального представления электромагнитных полей в задачах дифракции позволяет получать различные интегральные уравнения. Существо предлагаемого метода заключается в определении промежуточной характеристики — распределения заряда на металлической пластине, а затем путем интегрирования — электрического тока. Векторы электромагнитного поля определяются через векторный потенциал электрических токов при помощи известных уравнений:

где .

Излучатель рассматривается в составе бесконечной периодической антенной решетки, что позволяет перейти к анализу поля в пределах одного ее периода. В связи с этим для векторного потенциала целесообразно использовать представление в виде разложения по плоским волнам [2]:

где

и — вектор объемной плотности электрического тока, (x,y,z), (x',y',z') — координаты точки наблюдения и точки интегрирования соответственно.

Рис.1

Предполагая металлические излучатели идеально проводящими и бесконечно тонкими, вектор объемной плотности электрического тока можно записать следующим образом:

а действие экрана целесообразно заменить зеркальным изображением излучателя:

где — вектор поверхностной плотности электрического тока, — дельта функция Дирака.

Производя интегрирование в выражении (2) по продольной координате z с учетом (3) и (4), можно получить значения гармоники векторного потенциала в двух характерных областях структуры:

Волна потенциала представляется в виде суперпозиции волн, связанных с Е- и Н-волнами пространственного волновода:

Указанные волны определяются следующими выражениями:

где .

Приведенные выше соотношения получены для случая однородного пространства над решеткой (z>0). Учитывая теперь влияние неоднородностей в виде границ между диэлектрическими слоями, для области z₀<z<z₁, где z₀ и z₁ — расстояния от экрана до металлической пластины и верхнего диэлектрического слоя соответственно, выражение (6) можно видоизменить следующим образом:

В полученном соотношении величины:

являются функциями коэффициентов отражения Е- и Н-волн от границы раздела сред z=z₁. Коэффициенты отражения могут быть получены из системы уравнений, соответствующей граничным условиям на границах раздела сред:

где

а , — проводимости (m,n)-ой гармоники E- и Н-волны соответственно.

Компоненты векторных величин в (8) можно получить подставляя (5) в (7):

где

а знак обозначает X или Y координату.

Производя интегрирование по частям в последнем выражении с учетом граничных условий для нормальных составляющих тока на кромках излучателя и уравнения непрерывности:

получим

где — составляющие поверхностной плотности электрического заряда, связанные о соответствующими компонентами плотности тока.

Таким образом, вектора поля (1), выраженные через электродинамические потенциалы, полностью определяются неизвестным пока распределением электрического заряда по поверхности излучателя. Искомый заряд можно найти методом интегрального уравнения. Для этого используем граничное условие для полного электрического поля на поверхности идеально проводящего излучателя:

где

— стороннее электрическое поле, a E₀ — известное значение напряженности электрического поля в зазоре между плечами вибратора. Интегрируя первое уравнение из (1) по поперечным координатам, можно получить:

где С — постоянная интегрирования.

При использовании в (16) найденных выше выражений для электрических потенциалов можно получить систему из двух интегральных уравнений первого рода:

Наличие двух составляющих заряда требует, вообще говоря, решения системы уравнений (17). В частном случае, когда излучателями являются узкие вибраторы с одной ненулевой составляющей тока, поперечное распределение которой известно, система уравнений (17) сводится к одномерному интегральному уравнению:

где

Ядро (19) интегрального уравнение (18) представлено в виде суммы двух слагаемых (20). Слагаемое при совпадении аргументов имеет интегрируемую особенность, выделяя которую [3], можно привести интегральное уравнение первого рода (18) к уравнению второго рода:

где

численное решение которого является корректной задачей [4]. В последнем выражении слагаемое ядра:

является гладкой функцией координат. Здесь R — радиус окружности с центром в особой точке x=x', а

Коэффициенты разложения выделенной особенности вида в ряд по ортогональным функциям могут быть найдены в виде:

где , , — функции Бесселя нулевого и первого порядка, , — функции Струве нулевого и первого порядка соответственно.

Функция в выражении (22) представляет собой результат выделения особенности:

Таким образом, получено интегральное уравнение (22), алгоритмы численного решения которого хорошо известны. В данной задаче удобно использовать интерполяционный метод Крылова-Боголюбова, согласно которому интегральное уравнение сводится к системе линейных алгебраических уравнений при кусочно-постоянной аппроксимация неизвестной функции. Для этого вибратор делится на N конечных элементов, которые в силу оговоренной выше малой ширины вибратора располагаются только вдоль оси X. Считая неизвестную функцию постоянной в пределах каждого конечного элемента и согласовывая решение в их средних точках, можно перейти к системе уравнений:

где

Решая полученную систему уравнений, можно найти распределение электрического заряда по металлическому вибратору, через которое находятся все интегральные характеристики излучателя в решетке: парциальная диаграмма направленности, входное сопротивление и другие. При не очень малых размерах конечных элементов матрица системы будет хорошо обусловленной, так как выделение особенности ядра интегрального уравнения приводит к доминированию по абсолютной величине диагональных элементов над остальными элементами матрицы системы.

Необходимо отметить, что в данном методе характеристики излучателя определяются через распределение заряда на поверхности вибратора, а не тока, как это делается во многих родственных задачах. Основное достоинство метода заключается в более быстрой сходимости исследуемых характеристик излучателей при заданной точности расчета. Это связано о тем, что выбранный аппроксимирующий полином для описания распределения заряда эквивалентен полиному для тока, степень которого на единицу больше. Известно, что интегральные характеристики излучателей обладают лучшей сходимостью по сравнению с распределением тока при численном решении граничных задач. В данном случае само распределение тока является интегральной характеристикой распределения заряда, что и определяет преимущества метода.

Разработанная методология анализа антенных решеток с печатными излучателями явилась основой для создания программы расчета характеристик вибраторной ФАР в печатном исполнении. На рис.2 приведены результаты численного решения тестовой задачи определения электрического заряда на вибраторе излучателя решетки с параметрами: d_x= 0,6, d_y= 0,25, a= 0,5, b= 0,03, c= 0,01, z₀= 0,15, ε₁= 4, ε₂=ε₃= 1, φ= 90⁰, θ= 5⁰.

Рис.2