При решении внешних и внутренних задач электродинамики используется метод последовательных отражений (последовательных дифракций) [1, 2], обеспечивающий достаточную эффективность численных алгоритмов определения электродинамических характеристик сложных объектов.

Указанный метод в модифицированной форме может быть использован для определения характеристик конечных антенных решёток с учетом краевых эффектов и взаимодействия излучателей.

Будем считать, что отдельный излучатель решетки представляет совокупность металлических конструктивных элементов, расположенных над плоским или круговым цилиндрическим экраном, и отверстий в экране, связывающих излучатель с делителем мощности или фидерной линией, нагруженной на отражательный фазовращатель. В конструкцию излучающего полотна может входить диэлектрическая подложка и многослойное диэлектрическое покрытие в виде листа соответствующей формы, расположенного параллельно экрану.

В рамках метода наведённых ЭДС токи в излучателях определяются уравнением

где – матрицы собственных и взаимных сопротивлений, проводимостей и коэффициентов передачи, определённых относительно базисных функций в разложениях электрических и эквивалентных магнитных токов излучателей

в которых р, t – номер излучателя и конструктивного элемента в излучателе соответственно; – базисные функции в разложениях электрического и магнитного токов; – вектор коэффициентов в указанных выше разложениях; – вектор ЭДС и МДС, определённых относительно соответствующих базисных функций в разложениях (2) и выражающихся через электрическое и магнитное поле облучателя отражательной решетки или волн делителя мощности решетки проходного типа. Размерность базисных функций в (2) может быть выбрана так, что коэффициенты вектора будут иметь размерность силы тока и напряжения. Поэтому в дальнейшем эти коэффициенты будут называться токами и напряжениями излучателей. Будем считать, что конечная решетка образована одинаковыми эквидистантно расположенными излучателями.

Матрица собственных и взаимных проводимостей представляет сумму двух слагаемых

где – матрица внешних собственных и взаимных проводимостей; – матрица внутренних проводимостей, характеризующая излучение отверстий связи в линии передачи, связывающие излучатели с отражательными фазовращателями или делителем мощности. Коэффициенты матрицы представляют сумму ряда парциальных проводимостей

где – характеристическая проводимость q-й собственной волны линии передачи; – коэффициент отражения этой волны от нагрузки в плоскости отверстия связи; – коэффициент, учитывающий «взаимодействие» между базисными функциями t-го отверстия через линию передачи по q-й собственной волне.

Решение уравнения (1) известными методами встречает трудности при большом числе излучателей и наличии диэлектрических покрытий и подложек. Существенное упрощение достигается в том случае, если решение уравнения (1) удаётся выразить через решение задачи о возбуждении соответствующей регулярной структуры. Для этого дополним конечную решётку до бесконечной и подберём нагрузки дополнительных излучателей так, чтобы исключить при моделировании влияние этих излучателей на распределение тока в конечной решётке. Затем воспользуемся методом последовательных отражений. Согласно этому методу, токи в элементах бесконечной решетки представляются в виде суммы токов, возбуждаемых при последовательном отражении волн между входами излучателей и нагрузками (фазовращателями отражательных решёток или делителем мощности решёток проходного типа, а также нагрузками излучателей, дополняющих конечную решётку до бесконечной). На каждом отражении необходимо решать хорошо изученную задачу о возбуждении регулярной излучающей структуры.

Как будет показано ниже, модели нагрузок излучателей конечной антенной решетки и дополнительных излучателей отличаются от обычных моделей физических нагрузок. Поэтому излагаемый ниже метод может быть назван обобщённым методом последовательных отражений.

Представим матрицу уравнений (1) в виде формальной суммы

где матрица определяется выражением (4). Матрица - диагональная; коэффициенты этой матрицы определим выражением

где

фактически имеем

Однако теперь каждое распределение электрического тока, соответствующее базисным функциям в разложениях (2), рассматривается как излучатель, соединённый с нагрузкой линией передачи, имеющей волновое сопротивление . Коэффициенты отражения нагрузок определяются выражением (7). Такими нагрузками будут, очевидно, короткозамыкатели, поскольку длина линий передачи, связывающих эти нагрузки с излучателями, должна быть равна нулю.

Распределения магнитного тока в (2) также можно рассматривать как излучатели, нагруженные на многополюсник с матрицей проводимостей . Будем считать, что излучатели и многополюсник связаны между собой линиями нулевой длины с волновыми проводимостями .

Указанные выше распределения электрического и магнитного тока в дальнейшем будут называть электрическими и магнитными парциальными излучателями или просто парциальными излучателями.

Заменим в уравнении (1) исходную матрицу матрицей бесконечной эквидистантной решетки. С учетом (5) уравнение (1) можно представить в виде

Координаты вектора в правой части (9), соответствующие излучателям, дополняющим конечную решётку до бесконечной, равны нулю.

Уравнения (1) и (9) эквивалентны, если для дополнительных излучателей в (4), (6) положить

Из (9) следует, при выполнении условий (10) токи и напряжения дополнительных излучателей равны нулю и, следовательно, эти излучатели фактически отсутствуют.

Уравнение (9) описывает возбуждение бесконечной решетки, но эта решетка нерегулярна, так как нагрузки излучателей неодинаковы. Для перехода к уравнению, описывающему возбуждение регулярной структуры, представим возбуждение решетки как возбуждение генераторами с ЭДС и МДС и волнами, отраженными от нагрузок парциальных излучателей.

Будем считать, что

Тогда парциальные излучатели с линиями передачи образуют регулярную структуру.

Введём обозначения

где – векторы напряжений и токов нагрузок электрических и магнитных парциальных излучателей соответственно. Представим (12) в виде суммы напряжений и токов падающих и отражённых волн в соответствующих линиях передачи

где верхние индексы +, - обозначают соответственно падающие и отражённые от нагрузок волны; – диагональные матрицы волновых сопротивлений и проводимостей линий передачи, связывающих нагрузки с электрическими и магнитными парциальными излучателями.

Используя очевидные соотношения

представим выражение (13) в виде

В результате уравнение (9) принимает вид

Согласно (16), токи и напряжения излучателей возбуждаются генераторами ЭДС и МДС , а также волнами линий передачи , отраженными от нагрузок парциальных излучателей. Амплитуды волн, отражён-ных от нагрузок, выразим через ток и напряжение падающих волн

где коэффициенты диагональной матрицы определяются выражениями (7), (10),

В результате уравнение (16) принимает вид

где

Уравнение (18) решается итерационным методом. На начальном шаге итерационной процедуры искомое решение представляется в виде суммы двух слагаемых , являющихся решениями уравнений

(20а) (20б)

и решается уравнение (20а). На K-м шаге поправка к найденному на предыдущем шаге приближенному решению представляется в виде суммы , слагаемые которой представляют решение уравнений

и решается уравнение (21a). Решение исходного уравнения представляет собой сумму ряда

Правая часть уравнения (21а) представляет вектор удвоенных амплитуд волн, отразившихся от нагрузок парциальных излучателей на предыдущем шаге итерационной процедуры. Таким образом, алгоритм (20)...(22) действительно описывает процесс последовательных отражений волн между входами излучателей и нагрузками.

Итерационная процедура (20)...(22) сходится, так как модули коэффициентов отражения на выходах парциальных излучателей меньше единицы из-за излучения и потерь в конструктивных элементах.

При численной реализации итерационной процедуры уравнения (20а), (21а) решаются методом преобразования Фурье. После применения дискретного преобразования Фурье (ДПФ) к (20а), (21а) получаем

где тильдой отмечены дискретные преобразования Фурье (ДПФ) соответствующих величии. Переход к решениям уравнений (20а), (21а) осуществляется путём применения обратного дискретного преобразования Фурье

где – оператор обратного дискретного преобразования Фурье.

Уравнением задачи о токах в единичной ячейке регулярной структуры при парциальном возбуждении является (23). Таким образом, соотношения (23), (24) позволяют выразить решение задачи о возбуждении конечной отражательной решетки через решение задачи о возбуждении регулярной структуры.

При численной реализации приведённого алгоритма дискретные преобразования Фурье функций в (23), (24) находятся с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье. Необходимое число итераций зависит от требуемой точности определения токов. Практика вычислений показывает, что погрешность определения характеристик антенной решетки не превышает в большинстве случаев долей или единиц процентов, если использовать упрощённый алгоритм. Суть упрощений состоит в том, что при моделировании к излучателям, дополняющим конечную решётку до бесконечной, «подключают» обычные нагрузки, при которых токи, возбуждаемые в этих излучателях, практически отсутствуют. Например, при моделировании вибраторной решетки достаточно в зазор дополнительных вибраторов «включить» бесконечно большие сопротивления. В этом случае существующие программы для моделирования регулярных излучающих структур с минимальными доработками можно использовать для определения характеристик проходных и отражательных конечных антенных решёток как с малым числом излучателей, так и с числом излучателей, достигающим 10⁴ и более.

Рис.1

В качестве примера на рис. 1 представлены H-плоскостные диаграммы направленности вибраторной решетки с квадратным излучающим полотном, содержащим 256 излучателей, расположенных над плоским экраном в узлах прямоугольной сетки с шагом = 0,8, = 0,6. Распределение амплитуд волн, возбуждающих решётку, соответствовало функции косинус в квадрате на пьедестале, обеспечивающей уровень боковых лепестков не выше -40 дБ. Для расчёта диаграммы направленности с точностью, обеспечивающей воспроизведение боковых лепестков, уровень которых достигает -60 дБ, потребовалось учесть 10 отражений и 32×32 точек отсчетов ДПФ.

При указанных параметрах ДПФ на каждом шаге итерационной процедуры решается задача периодического возбуждения регулярной структуры, когда один период содержит 32×32 элемента.

Величина тока в излучателях, дополняющих конечную решётку до бесконечной, не превышала -60 дБ относительно максимального значения тока в излучателях исследуемой решетки.

Затраты машинного времени при реализации указанного числа отражений на ЭВМ ЕС-1045 не превышали 20 с. Расчёт характеристик регулярной решетки для указанного параметра ДПФ при аппроксимации распределения тока на вибраторах тремя базисными функциями потребовал 24 мин машинного времени.

На базе этого же массива характеристик регулярной вибраторной структуры могут быть, очевидно, определены токи как в вырожденной решётке, состоящей из одного излучателя, так и в решётке с произвольной формой излучающего полотна, вписывающегося во фрагмент регулярной структуры, содержащей 32×32 элемента, в том числе в квадратной решётке с 1024 элементами. Любой вариант потребует те же 20 с машинного времени ЭВМ ЕС-1045.

При неизменных размерах массива характеристик регулярной излучающей структуры точность определения токов конечной решетки уменьшается с ростом числа излучателей. Однако необходимо отметить, что в случае амплитудных распределений, спадающих к границе излучающего полотна, погрешность определения характеристик конечных антенных решёток, удовлетворяющих указанному выше соотношению между массивом точек отсчёта ДПФ и областью излучающего полотна, слабо зависит от числа излучателей и формы излучающего полотна.

Вычисление обратного дискретного преобразования Фурье (24) не встречает каких-либо затруднений, так как функция не имеет особенностей типа полюсов, связанных с поверхностными волнами. Отсутствие указанных особенностей обусловлено тем, что величина соответствует регулярной структуре, образованной парциальными излучателями с нагрузками в виде согласованных линий передачи или многополюсников с потерями. В подобных структурах поверхностные волны отсутствуют.

Соответствующий выбор базиса в (2) и нагрузок парциальных излучателей позволяет исследовать характеристики решёток, образованных неодинаковыми излучателями, а также неэквидистантных антенных решёток, расстояния между элементами которых кратны произвольной константе.