ГлавнаяКарта сайтаНапишите намПоиск по сайту
EDS-Soft
ElectroDynamic Systems Software ScientificTM
Antenna Systems ResearchTM



Antenna Array


Когерентность

Состояние двух или нескольких колебаний, при котором сохраняется постоянное соотношение фаз между этими колебаниями.

(из «Словаря терминов» нашего сайта)






Виктор Иванович Чулков, ведущий научный сотрудник Калужского НИИ.
Является автором и руководителем проекта “EDS–Soft” (с 2002 года).

Применение итерационного метода вычисления полного электромагнитного поля для конформных антенных решеток



Опубликовано: 19.04.2007
© В. И. Чулков, 1991. Все права защищены.
© EDS–Soft, 2007. Все права защищены.


B работе [1] рассмотрен один из вариантов метода пограничного слоя, основанный на асимптотическом решении связанной системы параболических уравнений, непосредственно вытекающей из уравнений Гельмгольца. При этом само решение строилось в виде квадратур (или рядов), в которое входили функции Эйри, при условии, что конформная поверхность с импедансной структурой (ПИС; поверхность S) имеет большие электрические размеры.

В.B. Kорышевым применительно к поверхностям цилиндрической формы предложено построение тензоров Грина на основе итерационной процедуры решения граничной задачи электродинамики для плоской ПИС. Предполагается, что этот метод применим для выпуклых поверхностей произвольных радиусов кривизны и . B настоящей статье результаты обобщаются на ПИС двойной кривизны.

Точки, расположенные над поверхностью S могут быть однозначно описаны радиус–вектором [2]:

(1)

где , — координаты точек на поверхности S, заданной радиус–вектором , а направление оси определяется направлением вектора нормали к S. Ковариантный базис над поверхностью S с учетом деривационной формулы Вейнгартена [3] может быть записан в виде:

(2)

где и – ковариантный базис на поверхности S, , – компоненты второй квадратичной формы поверхности S, – контравариантные компоненты метрического тензора.

Введем обозначения: — ковариантные компоненты тензора введенной системы координат ,, , g — определитель метрического тензора,

(3)

где , — метрический тензор на поверхности S.

Неоднородные уравнения Максвелла, записанные для ковариантных координат векторов поля (зависимость от времени взята в виде ), имеют, как хорошо известно, следующий вид:

(4а)

где n, k — «мертвые» индексы, — контравариантный псевдотензор Леви–Чивита, — ковариантные компоненты метрического тензора, g — модуль определителя метрического тензора, , — ковариантные компоненты векторов вторичного поля, , — ковариантные компоненты вектора магнитного и электрического токов на излучателях, являющихся источниками вторичных волн, — символ ковариантной производной. С помощью несложных преобразований уравнения (4а) могут быть представлены в эквивалентном виде:

(4б)

где запись Rot означает операцию ротора в декартовой системе координат, а через , обозначены векторы электрического и магнитного объемных сторонних «токов», обусловленных искривлением поверхности АР:

(5)

В записи (5) — единичный тензор, — тензор, контравариантные компоненты которого . Если носитель сторонних токов , конечен, то , при в силу теоремы единственности [4]. Как следует из (4), исходную задачу дифракции на выпуклом теле можно заменить эквивалентной задачей дифракции на плоской поверхности в присутствии объемно–распределенных над этой поверхностью токов , . При этом свойства пространства над S остаются без изменений. Учитывая (3), запишем в развернутом виде:

(6)

Для упрощения записи будем использовать следующие обозначения: , , , , m=1,2,3 — орты декартовой системы координат. B соответствии с (4) можно записать:

(7)

где V — объем всего рассматриваемого пространства (0≤z≤∞, -∞≤x,y≤∞), а тензоры , определяются равенствами:

(8)
(9)

причем

Здесь

, — коэффициенты «отражения» для плоской поверхности [5]. Остальные тензоры определяются из равенств:

B выражениях (8) и (9) верхняя строчка в фигурных скобках соответствует случаю , а нижняя — случаю ; индекс р=1 соответствует Н–волне, а индекс р=2 — Е–волне, причем

Введем обозначения:

— шести–вектор поля, — шести–вектор тока, , — линейные матричные интегральные операторы, ядра которых равны:

Тогда, используя (5), выражения (7) можно представить в операторном виде:

(10)

Уравнение (10) будем решать итерационным методом, причем в соответствии с (4) и (5)

Рассмотрим первое приближение, приняв за нулевое приближение поле плоской решетки , :

(11)

где — объем, занятый токами , . После подстановки (11) в (7) и приведения подобных членов получаем:

где тензоры Грина конформной поверхности в первом приближении имеют вид:

(12)

В выражении (12) , при и , при ,

а индексом "r" отмечены регулярные части тензорных функций Грина [6]. Применение тензоров (12) означает, что осуществлен переход от электродинамического рассмотрения конформной поверхности к рассмотрению плоской поверхности при наличии только сторонних токов , . При этом влияние объемных токов , учтено при получении выражений (12).

Распишем подробнее объемный интеграл в (12), подставив в него (8) и (9). Рассматривая при этом два характерных случая и записывая выражения в общем виде, получаем:

— при

(13)

— при

(14)

Здесь обозначено:

(15)

При вычислениях по формулам (13) и (14) возникают интегралы вида:

(16)

где обозначено:

(17)

При вычислениях по формулам (17) неудобно непосредственно использовать общие выражения (6). Для упрощения записи будем считать, что , , в неомбилических точках являются ортогональной координатной системой в линиях кривизны поверхности S [3]. При этом главные направления и можно определить соотношениями:

(18)

где обозначено

— уравнение поверхности S, , , , а функции и определяются из условий равенства вторых смешанных производных (условий совместности). Вводя обозначения , удобно записать эти условия в виде:

которые с учетом (18) приводят к двум независимым линейным дифференциальным уравнениям в частных производных:

(19)

с начальными условиями . Здесь обозначено

Решая уравнения (19), получаем [7]:

где и — соответствующие решения обыкновенных дифференциальных уравнений и , которые определяют уравнения проекций линий кривизны поверхности S на плоскость : и . Функции и — произвольные дифференцируемые функции, удовлетворяющие условиям при .

В омбилических точках поверхности S выбираем в качестве главных направлений произвольно два взаимно–ортогональных направления [3].

Таким образом, в линиях кривизны получаем (, , — главные кривизны поверхности S):

— при

(20а)

— при

(20б)

При выводе выражений (20а) учтена формула (2.325.1) из [8], причем — аналитическое продолжение в комплексную плоскость, разрезанную вдоль отрицательной части действительной оси, интегральной показательной функции [9]. Остальные интегралы в (17) равны нулю.

Представляют также интерес значения некоторых интегралов из (20а) при b=∞ [9]:

(21)

В случае, когда S — цилиндрическая поверхность (, , ), выражения (20а) упрощаются:

Выражения (12)…(14) с учетом (15)…(21) полностью решают задачу определения тензорных функций Грина конформной поверхности в первом приближении и, следовательно, первого приближения рассеянного этой поверхностью электромагнитного поля.

Использованная литература

1. Чулков В.И. Математическое моделирование антенной решетки из микрополосковых излучателей над импедансной поверхностью обобщенного цилиндра. — Депонир. рукопись НИИЭИР, №3–8904, 1991.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. //Пер. с англ. под ред. И.Г. Арамановича. — М.: Наука, 1968. — 720с.
3. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. — М.: Наука, 1978. — 296с.
4. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. — М.: Радио и связь, 1983. — 295с.
5. Чулков В.И. Использование ленточных излучателей в антенных решетках. — Радиотехника и электроника, 1992, т.37, №5, с.834…840.
6. Жук Н.П., Третьяков О.А. Функции Грина уравнений Максвелла для плоскослоистой среды. — Радиотехника и электроника, 1985, т.30, №5, с.869…875.
7. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: ГИФМЛ, 1958. — 468с.
8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М: ГИФМЛ, 1962. — 1100с.
9. Справочник по специальным функциям //Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган //Пер с англ. под ред. В.А. Диткина и Л.Н. Кармазиной. — М.: Наука, 1979. — 830 с.

Статьи за 2007 год

Все статьи

GuidesArray Coaxial 0.1.2

GuidesArray Coaxial™ используется инженерами для проектирования и исследования характеристик плоских периодических фазированных антенных решеток коаксиальных волноводов.


Подписка



Изменение параметров подписки


 




 
 
EDS-Soft

© 2002-2019 | EDS-Soft
Контакты | Правовая информация | Поиск | Карта сайта

© дизайн сайта | Андрей Азаров